複利效應：百分比的平均數大有學問

你曾有過投資一檔股票去年賺100%，今年虧損50%的經驗嗎？如果沒有，你很可能對於兩年整體報酬率會有：「還好嗎！雖然第二年損失了一點，但是我平均年報酬率還有25%。（100% - 50% = 50%，50%*1/2 = 25%）」的感覺。假設你真的這樣認為，那就大錯特錯。原因在於，報酬率百分比不能用簡單平均計算，而是應該用複合平均計算。

對不起！報酬率不是這樣子計算的

以前面的案例為範本，你在計算實際報酬率時，不能單單將今年的報酬率從上一年度的報酬率中減去然後再除以年數。因為你忽略了一個在投資上基本但意義深遠的要素------複利效應（或複合報酬率）。

複利效應最簡單的解釋就是用已經賺到的錢再賺錢（或再賠錢）。舉例來說，當你將錢以定存的方式存進銀行，所獲得之報酬是利息。將所賺到的利息加入本金繼續存入銀行，則之前賺到的利息也會開始累積利息；如果你將投資股票所得的盈餘再投入，會因為複利效果使得最初所投入的資本以指數的形式增長。

因此，決定你投資實際上賺得之多寡時，必須加總原有的本金與投資期間內的盈餘或虧損。

舉例來說：去年你所擁有的股票上漲了100%，但今年卻下跌了50%。那你在計算實際的投資報酬率時，不能僅將前面的數字減去後面的數字。因為按照這樣計算，該期間內你的投資報酬率會有50%。也就是說，假設你在去年投資這檔股票的金額是100,000元，現在就變成了150,000元。

但這個答案是錯誤的！

前面簡單的計算忽略了第二年的虧損對第一年所賺到「額外的錢」的影響。比較適當的計算方式是，起始投資的100,000元在第一年獲得100%的報酬後增值為200,000元。但是第二年產生50%的虧損使得200,000元變成100,000元，這剛好是起始投資的金額，所以平均年報酬率為0%。

投資人理智常常被百分比所蒙蔽

這裡有一個容易讓投資人受欺騙的典型範例：
一家上市公司經營當紅且誘人的高科技商品，在2002年股價下跌32%，在2003年上漲64%。你也許會想，這代表著該公司股價總共上漲32%（64% - 32% = 32%）。但實際上卻不是這樣，正確計算後顯示該公司股價只有上漲11.52%，或者平均年報酬率5.6%。

換句話說，如果你投資100,000元，在第一年結束後你將有68,000元。如果第二年的報酬率是64%，則在第二年結束後你將會有111,520元。
舉一反三，如果一家汽車零組件公司的股價2002年下跌45%，2003年上漲50%。那這兩年的報酬率是6%（50% - 45% = 5%）嗎？同樣的，答案當然不是。正確的答案是總共下跌17.5%。

波動性對百分比的影響

由前面的範例中，我們隱約可以發現波動性能讓複利效應有戲劇性的變化。事實上，一連串報酬率的百分比波動或變異愈大，複合平均報酬率會比簡單平均報酬率低。下表中是將一連串報酬率擺在一起比較的結果。

波動性對平均報酬率的影響表

	範例一	範例二	範例三
期間一	30%	75%	13%
期間二	-15%	-45%	14%
期間三	25%	10%	13%
總計	40%	40%	40%
簡單平均	13.30%	13.30%	13.30%
複合平均	11.40%	1.90%	13.30%

將涵蓋三個時期且不同報酬率之序列簡單平均後，三個範例將會得到三個完全相同的數字：13.3%。但是此一平均數很容易誤導投資人，因為你只要試算出實際的報酬後，就知道這是個錯誤的計算方式。如果想要得到正確的報酬率，則必須以複合平均的方式計算。

在範例二中，你可以清楚的看到波動最劇烈的報酬率序列的複合平均只有1.9%。而範例三中波動率較穩定的報酬率序列，其複合平均報酬率較高。

結論

不論是對公開上市公司每期營收成長百分比、盈餘成長百分比或是自己的投資報酬率等，精明的投資人在對複利效應有正確的認知下，會追求穩定地百分比成長。挑選每期營收成長百分比、盈餘成長百分比穩定地公開上市公司投資，或是投資報酬率穩定的投資標的，這樣才不會將自己暴露在波動性的風險下。

Note：

投資報酬率為何? 另外年的報酬率又為何?

小明在五年前以10萬元投資某共同基金，現在資金已成長為22萬元，投資報酬率為何? 另外年的報酬率又為何?

投資報酬率為
公式一:(22萬元-10萬元) / 10萬元 = 120 %
公式二:[(22萬元/10萬元) -1] = 120 %
代表5年賺120%，那麼年平均報酬率就是120%除以5，為24%，這是一般人錯誤的算法。
除非每年都把獲利取出花用掉，否則投資報酬率是以複利是以的方式在利滾利，化為公式，即為:
(1+年投資報酬率)^年數 - 1 = 總投資報酬率
所以就是
22萬元/10萬元=2.2
2.2開5次方再減1 x100 %=17.08%

假設該筆投資的年複合報酬率為 r
則 本金 * ( 1+ r )^(投資年限-1) = 期末終值

• 10 * (1+ r )^5 = 22
  r= 17%